隨機(jī)過(guò)程最明顯的特點(diǎn)是非周期性，瞬時(shí)值無(wú)法預(yù)測(cè)；但并非無(wú)規(guī)律可言，而是表現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。因此，對(duì)隨機(jī)信號(hào)的研究處理和分析必須用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)進(jìn)行。對(duì)某一隨機(jī)過(guò)程，通常用下列四個(gè)方面的信息來(lái)描述它：

時(shí)域：有平均值、均方值、均方根值、方差等；

幅值域：有概率分布、概率密度等；

時(shí)差域：有自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)；

頻率域：有自功率譜密度、互功率譜密度、頻率響應(yīng)函數(shù)以及相干函數(shù)。

隨機(jī)過(guò)程有平衡的和非平穩(wěn)的；有各態(tài)歷經(jīng)的和非各態(tài)歷經(jīng)的；有正態(tài)分布的和非正態(tài)分布的。在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的范疇內(nèi)，通常假定為平穩(wěn)的、各態(tài)歷經(jīng)的，并且是正態(tài)分布的。所以，本文的敘述都是從這一假定出發(fā)的。

時(shí)域信息

1. 平均值

它描述一隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)的平均狀態(tài)。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論中，此值稱(chēng)為數(shù)學(xué)期望，表示隨機(jī)變量的位置特性。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

在隨機(jī)振動(dòng)理論中，通常將平均值取為零，所以在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中此值不常用。

2. 方均值

在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中，方均值表示試驗(yàn)?zāi)芰康拇笮?，由于平均值取為零，故方均值就是方差，它描述一隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)在平均值周?chē)姆稚⑿?，即在平均值上下的波?dòng)大小。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

3. 方均根值

它描述一隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)在平均值周?chē)募谐潭?。在隨機(jī)振動(dòng)理論中，由于將平均值取為零，所以方均根值就是標(biāo)準(zhǔn)偏差。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

此值在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中表示有效幅值的大小。

幅值域信息

1. 幅值的概率分布

幅值的概率分布是描述隨機(jī)振動(dòng)瞬時(shí)幅值低于某一特定值的概率，它與幅值概率密度一道描述了隨機(jī)振動(dòng)瞬時(shí)幅值大小的分布規(guī)律。典型的幅值概率分布曲線(xiàn)如圖1所示。

圖1 幅值的概率分布曲線(xiàn)

由圖1可見(jiàn)，P(x) 是幅值x 的函數(shù)。幅值小于X1 的概率為P(X1)，幅值趨于正無(wú)窮大的概率P(+∞)≤1，幅值趨于負(fù)無(wú)窮大的概率P(-∞)≥0，所以幅值的概率分布范圍為0≤P(X )≤1，該分布主要用于對(duì)隨機(jī)信號(hào)的分析和研究中，而在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中不常用。

2. 幅值的概率密度

幅值的概率密度表示隨機(jī)振動(dòng)瞬時(shí)幅值落在某一區(qū)間內(nèi)的概率。在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中，幅值的概率密度曲線(xiàn)為正態(tài)分布曲線(xiàn)，并且平均值為零。為了分析方便，通常還將標(biāo)準(zhǔn)偏差σ 規(guī)范化為1。其數(shù)學(xué)表達(dá)方式為：

幅值的概率密度曲線(xiàn)如圖2所示。

圖2 正態(tài)分布概率密度曲線(xiàn)

由圖2可見(jiàn)，概率密度曲線(xiàn)下的面積為1，所以通過(guò)概率密度曲線(xiàn)就很容易知道某瞬時(shí)幅值出現(xiàn)的概率，例如瞬間幅值為圖2中的-(X+△X ) 的概率，就是概率密度曲線(xiàn)下那個(gè)長(zhǎng)方條的面積。同時(shí)由圖2還可以看出，隨機(jī)振動(dòng)的瞬間值大于3倍方均根值 (+3ms) 和小于3倍方均根值 (-3rms) 出現(xiàn)的概率非常小，約占0.26℅。在+3rms 和-3rms 之間出現(xiàn)的概率十分大，約占99.74%，這就是通常把3rms 值作為隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)最大幅值的依據(jù)。當(dāng)用磁記錄儀和數(shù)據(jù)采集器記錄隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)時(shí)，要保證3rms 的瞬間幅值不削波。另外，隨機(jī)疲勞計(jì)算時(shí)的最大加速度量級(jí)也是以3rms 值為依據(jù)的。rms 值就是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ 值，當(dāng)將標(biāo)準(zhǔn)偏差σ 規(guī)范化為1時(shí)，則這里的3rms 均表達(dá)為3σ。

時(shí)差域信息

上述的平均值、方均值、方均根值、幅值的概率分布、幅值的概率密度充分描述了隨機(jī)振動(dòng)在時(shí)域和幅值域中的各種信息，但沒(méi)有給出頻率含量與時(shí)間歷程之間的信息。這些信息是在自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)中給出。

1. 自相關(guān)函數(shù)

隨機(jī)過(guò)程X(t) 的自相關(guān)函數(shù)定義為在時(shí)刻t 和時(shí)刻t+τ 的隨機(jī)變量乘積的平均值，τ 是時(shí)移，當(dāng)平均時(shí)間T→∞時(shí)，平均值的極限便是自相關(guān)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

自相關(guān)函數(shù)描述了隨機(jī)信號(hào)在特定時(shí)刻的瞬時(shí)值如何取決于先前出現(xiàn)的瞬時(shí)值。它反映了隨機(jī)信號(hào)本身在不同時(shí)刻的相互關(guān)系，即間隔時(shí)間兩側(cè)的隨機(jī)信號(hào)的相互依賴(lài)關(guān)系，從而在時(shí)差域上建立任何時(shí)刻的隨機(jī)量值對(duì)未來(lái)量值的影響。

自相關(guān)函數(shù)可以用來(lái)判別是否為寬帶隨機(jī)信號(hào)，這是因?yàn)閷?duì)于寬帶隨機(jī)信號(hào)來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)移τ 非常小時(shí)，x(t) 和x(t+τ) 相差很小的概率很大，這時(shí)Rx(τ→0) 值非常大，表示關(guān)系密切。特別當(dāng)τ=0時(shí)，Rx(τ=0) 值最大，等于方均值，表示完全相關(guān)。當(dāng)時(shí)移τ 較大時(shí)，x(t) 和x(t+τ) 相差很小的概率很小。作平均計(jì)算正負(fù)對(duì)消，Rx(τ) 值很小。并且隨著τ 值的增大，Rx(τ→∞) 值很快衰減到零，表示x(t) 和x(t+τ) 之間沒(méi)有依賴(lài)關(guān)系，說(shuō)明對(duì)一般的隨機(jī)振動(dòng)時(shí)間間隔很遠(yuǎn)的二個(gè)隨機(jī)量之間不存在任何固定關(guān)系。寬帶隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)如圖3所示。

圖3 寬帶隨機(jī)的自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)可以把隨機(jī)信號(hào)中的周期成份檢測(cè)出來(lái)，這是因?yàn)槿魏沃芷谛盘?hào)在所有的時(shí)移上都有一定形狀的自相關(guān)函數(shù)圖形。例如正弦波的自相關(guān)函數(shù)為余弦形函數(shù)，在所有的時(shí)移上具有與正弦波一樣的周期（相位角信息消失了）。所以對(duì)周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，因?yàn)樗?jīng)過(guò)一個(gè)周期后又精確的重復(fù)過(guò)去的時(shí)間歷程，因此當(dāng)時(shí)移超過(guò)該周期時(shí)，其自相關(guān)函數(shù)必然重復(fù)前一段的形狀。所以若在自相關(guān)函數(shù)圖上發(fā)現(xiàn)時(shí)移趨于無(wú)窮大，Rx(∞)≠0，而有某種周期性，則說(shuō)明該隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)混有周期信號(hào)成分。

自相關(guān)函數(shù)通過(guò)傅里葉轉(zhuǎn)換可以得到自功率譜密度，用這種方法易于測(cè)量和分析，所以它是隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的基礎(chǔ)與基本參數(shù)。

2. 互相關(guān)函數(shù)

互相關(guān)函數(shù)表示一隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)x(t) 在t 時(shí)刻的值和另一隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)y(t+τ) 時(shí)刻值乘積的平均值，它與自相關(guān)函數(shù)一樣，同樣是時(shí)移的函數(shù)。它表示了二個(gè)隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)之間的依賴(lài)性?；ハ嚓P(guān)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中，利用互相關(guān)函數(shù)，可以確定一隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)通過(guò)一給定系統(tǒng)所需的時(shí)間。因?yàn)樾盘?hào)在系統(tǒng)中的時(shí)間滯后值，可以通過(guò)輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)中的峰值位置來(lái)確定?；ハ嚓P(guān)函數(shù)最大值偏離坐標(biāo)中心位置的時(shí)間坐標(biāo)移動(dòng)值，就是信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)的所需時(shí)間。如果一線(xiàn)性系統(tǒng)的輸入通過(guò)幾個(gè)通道輸出，利用互相關(guān)函數(shù)的時(shí)移，可以確定那個(gè)通道的傳輸是主要的?；ハ嚓P(guān)函數(shù)通過(guò)傅里葉轉(zhuǎn)換可以得到互功率譜密度。

頻率域信息

1. 自功率譜密度

功率譜密度是描述隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)各頻率分量所包含的功率，在頻率域是如何分布的，是隨機(jī)振動(dòng)在頻率域上的一種統(tǒng)計(jì)特性。

在正弦振動(dòng)試驗(yàn)中，振動(dòng)的頻率和幅值都是確定的，所以振動(dòng)的功率（能量）是很清楚的，也是很好計(jì)算的。而隨機(jī)振動(dòng)由于振動(dòng)的時(shí)間歷程是明顯的非周期性，所以必須用功率譜密度（方均譜密度）來(lái)計(jì)算。

隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)可以看作由無(wú)限多個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)組成，因此隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的功率譜便是在給定頻率范圍內(nèi)簡(jiǎn)諧振動(dòng)功率之和。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的功率正比于幅值的平方，所以在指定頻率上，隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的功率譜密度為

上式可見(jiàn)，在指定頻率上的功率譜密度就是信號(hào)在Δf 中的方均方值的平均值。理想的情況是，平均時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，濾波器的帶寬無(wú)限窄，這實(shí)際是不可能的，因此通常是用有限平均時(shí)間和有限帶寬，這樣（方均值/單位間隔頻率，故也稱(chēng)方

功率譜密度在頻率范圍內(nèi)的變化形式，即功率譜密度對(duì)頻率的圖型，稱(chēng)功率譜密度的頻譜。功率譜密度的頻譜還可以這樣理解：如果將隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)分割成許多小頻帶Δf，并在每個(gè)頻帶上測(cè)出方均加速度值，然后除以Δf，并令Δf→0，這時(shí)所得的函數(shù)稱(chēng)功率譜密度的頻譜。由于功率譜密度的單位為g2/Hz，即每單位頻率上的加速度值的平方，所以在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中又稱(chēng)加速度譜密度，功率譜密度的頻譜又稱(chēng)加速度譜密度的頻譜。功率譜密度（加速度譜密度）的單位由g2/Hz 和m2/s?/Hz 二種表達(dá)形式，它們之間的關(guān)系為100倍的關(guān)系，即1g2/Hz=100m2/s?/Hz。

功率譜密度除用作提供頻率域的信息外，還可以用來(lái)分析產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)特性、研究疲勞損傷、判別共振等。例如，通過(guò)功率譜密度可以判明安裝在運(yùn)載工具上使用的產(chǎn)品所經(jīng)受到的諸多振動(dòng)中，哪一種是主要的，哪一種是可以忽略的，從且易于對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行設(shè)計(jì)改進(jìn)。

2. 互功率譜密度

互功率譜密度描述兩隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程之間的頻率信息，它不僅能提供按頻率分布的能量大小，還能提供二信號(hào)之間的相互關(guān)系。從互功率譜密度中，我們可以得到系統(tǒng)的頻響函數(shù)，可以確定振動(dòng)響應(yīng)與對(duì)其激勵(lì)的時(shí)間關(guān)系。

上面介紹了如何用時(shí)域、幅值域、時(shí)差域和頻率域的信號(hào)描述隨機(jī)振動(dòng)。而當(dāng)前在試驗(yàn)內(nèi)模擬現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)振動(dòng)，重現(xiàn)的主要是現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)振動(dòng)的有效頻率成份（頻率范圍）、功率譜密度（加速度譜密度）、總均方根加速度，即保證這三個(gè)參數(shù)來(lái)自現(xiàn)場(chǎng)振動(dòng)。但在具體進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)仍是隨機(jī)振動(dòng)的時(shí)間歷程，該時(shí)間歷程應(yīng)該是現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)振動(dòng)時(shí)間歷程的典型代表等。